为什么统计的样本标准差计算要除(n-1)而母体标准差则除n？

相信这也是许多人的疑问，为什么统计学在计算母体标准差与样本标准差的时候要分别除以n与(n-1)呢？

一般人大概可以理解母体标准差除以n的道理，因为总共有n笔资料。

那为什么计算样本标准差时就要把分母减去1，就是除以(n-1)呢？

188金宝搏苹果下载 知道自己的回答无法让所有的人满意，但在你质疑188金宝搏苹果下载 之前请先读完整篇文章好嘛！

在回答这个问题之前，188金宝搏苹果下载 要先请大家想想看，当同一数值同时除以n及(n-1)时，除以(n-1)所得出来的数值是否会比较大？答案是肯定的，因为样本的标准差是总体标准差的估计值（你问188金宝搏苹果下载 为什么是「估计值」…？因为是「抽样」的关系啊。比如说全校学生共有500人，抽样50人，取身高来代表全校学生的身高，也就是用50人的身高来推估500人的身高，虽然50个人可以大致代表全校学生，但究竟还是跟实际计算500人的身高数值会稍有不同，也就是说两者不会一模一样）。

由样本计算出来的标准差终究不是整体实际的标准差，也就是说样本标准差是个不确定的数值，也就是说它是一个估计值。一般来说一位严谨的工程人员在估计数值的时候总是比较偏向保守，尤其事关安全时，当他无法准确的计算出一个数值时，就宁愿让数值偏向较差的方向，也就是故意将样本标准差的值高估于总体标准差，以取得保险，免得到时出错造成损失。于是，将之除以一个较小的分母(n-1)就可以让我们做到这一点。标准差越大表示制程能力越差，除以(n-1)会让数值变大。

其实，如果样本的数量越大时，那么除以n和除以(n-1)的差异将会越趋于一致。换句话说，其所引起的「量变」就不会太大，但是它们却有着「有偏估计」与「无偏估计」的「质变」。所以，一般我们在计算样本标准差时总会要求数据量至少要大于25个，或大于30个，数据当然要越多越好，只是为了取得实用与经济的平衡点而不得不取一个建议的数量。因此，样本标准差公式取的是除以(n-1)，只有当它除以(n-1)时，得出的结果才会是「无偏估计」。

以上所言，基本上是讲给不想烧脑的人看的，因为这样比较好解释为何要样本标准差要除以(n-1)，但是学统计的人应该不会认同以上论调，所以…

对于为何要样本标准差要除以(n-1)？比较正规的要用「自由度(Degree of Freedom)」的观念来解释为何要除以(n-1)，但这个其实比较抽象，大概很多人会看不懂，188金宝搏苹果下载 自己有时候也看不是很懂啦！

由于母体的每个资料都是一个可以自由变动的独立资料，所以自由度取n没有问题。但是，当使用样本来推估母体时，必须符合「无偏推估性」，因为样本平均值x̄(X-bar)基本上已经可以从抽样的n笔资料中先被计算出来，故只要知道(n-1)笔抽样资料，剩下的那一笔资料，其实可经由与x̄(X-bar)计算推导出来，这一笔资料就变成被限制住，成了丧失自由度的资料，所以自由度就变成(n-1)。大概是这样，其实188金宝搏苹果下载 自己也没弄懂多少就是了。

对自由度有兴趣的朋友可以参考下面两份网路资料，不过不一定看得懂就是了：

• 从标准差除以n或除以n-1谈起（丁村成） pdf档
• 浅谈自由度(样本标准差公式中的分母微什么要採用n-1)（江振东）Word档 (连结佚失)

后记：

如果你是对统计有很深入了解的朋友，你应该不需要来看188金宝搏苹果下载 在这里扯烂，在你批评前，如你果有能力不要用一堆公式来证明为何要除以(n-1)，讲得浅显易懂，188金宝搏苹果下载 服你，也欢迎大家一起来讲古～但记得先看完文章。

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